Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD。

（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（2）证明平面AMD⊥平面CDE；
（3）求二面角A-CD-E的余弦值。

Answer 1

解：（1）由题设知，BF∥CE， 所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角， 设P为AD的中点，连结EP、PC， 因为FEAP， 所以FAEP， 同理ABPC， 又FA⊥平面ABCD， 所以EP⊥平面ABCD， 而PC、AD都在平面ABCD 内， 故EP⊥PC，EP⊥AD， 由AB⊥AD，可得PC⊥AD 设FA=a，则EP=PC=PD=a， 故∠CED=60°， 所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°； （2）因为DC=DE且M为CE的中点， 所以DM⊥CE．连结MP，则MP⊥CE， 又MP∩DM =M， 故CE⊥平面AMD， 而CE平面CDE， 所以平面AMD⊥平面CDE； （3）设Q为CD的中点，连结PQ、EQ， 因为CE=DE， 所以EQ⊥CD， 因为PC=PD， 所以PQ⊥CD， 故∠EQP为二面角A-CD-E的平面角， 由（1）可得，EP⊥PQ， 于是在Rt△EPQ中， 所以二面角A-CD-E的余弦值为。