Question

过点A（1，1）与曲线y=2x-x³相切的切线的条数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：设切点坐标为P（t，2t-t³），再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，再根据过点A和切点的斜率等于切线的斜率，列出方程，求出斜率k，根据斜率的个数即可判断切线的条数，从而得到答案．

解答：解：设切点P（t，2t-t³），
∵y=2x-x³，则y′=-3x²+2，
∴在点P处切线的斜率为k=y′|_x=t=-3t²+2，
又切线过点P（t，2t-t³）和点A（1，1），由两点间斜率公式可得k=

2t-t3-1

t-1

=-t+1，
∴-3t²+2=-t+1，即3t²-t-1=0，
△=（-1）²-4×3×（-1）=13＞0，
∴t有两个解，即k有两个解，
∴过点A（1，1）与曲线y=2x-x³相切的切线的条数是2．
故选C．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处切线的方程．解题时要特别注意是“在”还是“过”，若是不能确定是否是切点，则设出切点进行求解．此类问题是易错题，关键要注意审题．属于基础题．