【题目】已知函数,是f(x)的导函数.
(1)证明:当x>0时,f(x)>0;
(2)证明:在()上有且只有3个零点.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)利用导数研究函数的单调性,利用单调性可证得不等式成立;
(2)转化为证明在上有且只有3个零点,因为0是的一个零点,再根据为奇函数,所以只需证明在上有且只有一个零点,分两种情况证明:①当时,利用导数证明,此时无零点,②当时,利用导数得到函数为单调函数,再根据零点存在性定理得有且只有一个零点.
(1)证明:
令,则,
当时,,所以在上单调递增,
所以当时,,所以在上单调递增,
又,
所以当时,.
(2)证明:,
令,得,即
令,则,
是奇函数,且,即0是的一个零点,
令,则,
当时,,所以在上单调递增,
令,则在上单调递增,在上单调递减.
由(1)知:当时,,即,
令,则,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
又,
所以时,恒成立,即时,恒成立,
所以当时,,
所以当时,恒成立,
当时,,
所以在上为增函数,且,,
所以在上有且只有一个零点,设为,所以,
因为是奇函数,,
所以在上的零点为,
所以在上的零点为,,,
所以在上有且只有3个零点.
所以在上有且只有3个零点.
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【题目】已知在上任意一点处的切线为,若过右焦点的直线交椭圆:于、两点,在点处切线相交于.
(1)求点的轨迹方程;
(2)若过点且与直线垂直的直线(斜率存在且不为零)交椭圆于两点,证明:为定值.
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【题目】在锐角△ABC中,a=2,_______,求△ABC的周长l的范围.
在①(﹣cos,sin),(cos,sin),且,②cosA(2b﹣c)=acosC,③f(x)=cosxcos(x),f(A)
注:这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并对其进行求解.
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【题目】已知椭圆,将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆交于、两点(均不在轴上),点,若直线、、的斜率成等比数列,且的面积为(为坐标原点),求直线的方程.
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【题目】已知直线l:3x+4y+m=0,圆C:x2+y2-4x+2=0,则圆C的半径r=_____;若在圆C上存在两点A,B,在直线l上存在一点P,使得∠APB=90°,则实数m的取值范围是____.
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【题目】每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰,为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调査了部分市民(问卷调査表如下表所示),并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表(如下图)
由两个统计图表可以求得,选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为( )
A.500,28.8°B.250,28.6°C.500,28.6°D.250,28.8°
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【题目】将含有甲、乙、丙的6名医护人员平均分成两组到A、B两家医院参加“防疫救护”工作,则甲、乙至少有一人在A医院且甲、丙不在同一家医院参加“防疫救护”工作的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】某工厂生产某种电子产品,每件产品合格的概率均为,现工厂为提高产品声誉,要求在交付用户前每件产品都通过合格检验,已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品,且每件产品检验合格与否相互独立.若每件产品均检验一次,所需检验费用较多,该工厂提出以下检验方案:将产品每个()一组进行分组检验,如果某一组产品检验合格,则说明该组内产品均合格,若检验不合格,则说明该组内有不合格产品,再对该组内每一件产品单独进行检验,如此,每一组产品只需检验一次或次.设该工厂生产件该产品,记每件产品的平均检验次数为.
(1)的分布列及其期望;
(2)(i)试说明,当越大时,该方案越合理,即所需平均检验次数越少;
(ii)当时,求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数.
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【题目】厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(1)若厂家库房中(视为数量足够多)的每件产品合格的概率为 从中任意取出 3件进行检验,求至少有 件是合格品的概率;
(2)若厂家发给商家 件产品,其中有不合格,按合同规定 商家从这 件产品中任取件,都进行检验,只有 件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列,并求该商家拒收这批产品的概率.
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