Question

如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．

Answer 1

（1）详证见解析；（2）详证见解析.

【解析】

试题分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知，只需证PB与平面AEC内一直线平行，连接BD交AC于点O，连接EO，根据三角形的中位线定理可知EO∥PB，而EO平面AEC，满足定理条件；

（2）欲证平面PCD⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PCD内一直线与平面PAD垂直，而PA⊥CD，CD⊥AD，,根据线面垂直的判定定理可知CD⊥平面PAD，得到结论.

试题解析：

（1）证明：连结交于点，连结．

∵为中点，为中点，即为△PBD的中位线，

∴， 4分

∵平面，平面，

∴平面． 7分

（2）证明：∵平面，平面，所以． 9分

∵在正方形中且，

∴平面． 12分

又∵平面，所以平面平面． 14分

考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）平面与平面垂直的判定.