Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，点(lg

n+1

n

，an+1-an)在直线y=x上，则数列{a_n}的通项公式是

a_n=1+lgn

．

Answer 1

分析：由点(lg

n+1

n

，an+1-an)在直线y=x上，得a_n+1-a_n=lg

n+1

n

，利用累加法可求得答案．

解答：解：∵点(lg

n+1

n

，an+1-an)在直线y=x上，
∴a_n+1-a_n=lg

n+1

n

，
∴n≥2时，a₂-a₁=lg2，a₃-a₂=lg

3

2

，a4-a3=lg

4

3

，…，an-an-1=lg

n

n-1

，
以上各式相加，得a_n-a₁=lg2+lg

3

2

+lg

4

3

+…+lg

n

n-1

=lg（2×

3

2

×

4

3

×…×

n

n-1

）=lgn，
∵a₁=1，∴a_n=1+lgn（n≥2），
又a₁=1适合上式，
∴a_n=1+lgn，
故答案为：a_n=1+lgn．

点评：本题考查由递推式求数列的通项，属中档题，已知a_n+1-a_n=f（n）求数列通项常用累加法．