Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1与x=-

2

3

时，都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若f(-1)=

3

2

，求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2ax+b，∵f（x）在x=1与x=-

2

3

时，都取得极值，
∴f′（1）=0，f′（-

2

3

）=0，即3×1+2a+b=0，3×(-

2

3

)2+2a（-

2

3

）+b=0
解得a=-

1

2

，b=-2
（2）由（1）知，f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c
∵f(-1)=

3

2

，∴-1-

1

2

+2+c=

3

2

，解得c=1
∴f（x）=x³-

1

2

x²-2x+1
又∵f′（x）=3x²-x-2，令f′（x）＞0，即3x²-x-2＞0，解得，x＜-

2

3

，或x＞1，
令f′（x）＜0，即3x²-x-2＜0．解得，-

2

3

＜x＜1
∴函数的增区间为 (-∞，-

2

3

)，(1，+∞)；减区间为(-

2

3

，1)，
∴函数在x=-

2

3

时又极大值为 

49

27

，在x=1时有极小值为-

1

2

．