Question

设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和

3

，二面角α-l-β的平面角为

π

2

，则球O的表面积为（　　）

A．4π

B．16π

C．28π

D．112π

Answer 1

分析：设两个半平面α，β截球O的两个截面圆的圆心分别为O₁，0₂，根据球的截面圆性质及球的切线性质得OO₁⊥α，OO₂⊥β．OP⊥l，继而四边形O₁0₂OP为矩形，得出O₁P²+O₂P²=OP²=R²，再计算球O的表面积即可．

解答：解：设两个半平面α，β截球O的两个截面圆的圆心分别为O₁，0₂，连接O₁P，O₂P，OP，如图所示
由球的截面圆性质及球的切线性质得OO₁⊥α，OO₂⊥β．OP⊥l，且O₁P=1，O₂P=

3

，
∴l⊥面OO₁P，l⊥面OO₂P，∴O₁，0₂，O，P四点共面，
∠O₁PO₂ 为二面角α-l-β的平面角，∠O₁PO₂=

π

2

，四边形O₁0₂OP为矩形．
∴O₁P²+O₂P²=OP²=R²，得R²=4，
∴球O的表面积S=4πR²=16π．
故选B．

点评：本题考查了二面角的度量，球的截面圆性质及表面积计算．本题得出O₁P²+O₂P²=OP²=R²是关键．