Question

设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和

3

，二面角α-l-β的平面角为

π

2

，则球O的表面积为

16π

．

Answer 1

分析：欲求球O的表面积，只需求出球O的半径，根据题意OP长即球O的半径，再根据球心与截面圆圆心连线垂直截面圆，可考虑连接球心与两个截面圆圆心，利用得到的图形中的一些边角关系，求出R，再利用球的表面积公式即可求出球O的表面积．

解答：解：设平面α，β截球O的两个截面圆的圆心分别为A，B，
连接OA，OB，PA，PB，根据题意在四边形OAPB中，∠APB=

π

2

，∠OAP=∠OBP=

π

2

，
∴∠AOB=

π

2

，
PA=1，PB=

3

，
设OP=R，则OA=

R2-1

，OB=

R2-3

，
设∠AOP=α，∠BOP=β，
则sinα=

1

R

，cosα=

R2-1

R

，sinβ=

3

R

，cosβ=

R2-3

R

，
sin∠AOB=sin∠（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=

1

R

•

R2-3

R

+

R2-1

R

•

3

R

=sin

π

2

=1，
∴R²=4，
∴球O的表面积为4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评：本题考查了球的截面圆的性质，以及二面角的平面角的找法，综合性较强，做题时要认真分析，找到联系．