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    设f(x)=x+
    4
    x
    ，
    （1）判断f（x）的奇偶性；
    （2）判断f（x）在（0，2]和[2，+∞）的单调性，并用定义证明．
    （1）由f(x)=x+
    4
    x
    知，定义域为{x|x≠0}
    显然，定义域关于原点对称．
    f(-x)=-x+
    4
    -x
    =-(x+
    4
    x
    )    =-f（x）
    所以．f（x）为奇函数
    （2）①任取x1＜x2且x1，x2∈（0，2]
    由题意，f（x1）-f（x2）=x1+
    4
    x1
    -(x2+
    4
    x2
    )
    =（x1-x2）+4
    x2-x1
    x1x2

    =（x1-x2）（1-
    4
    x1x2
    ）
    因为x1＜x2且x1，x2∈（0，2]
    则x1-x2＜0；
    0＜x1x2＜4，
    4
    x1x2
    ＞1    ，所以1-
    4
    x1x2
    ＜0
    =（x1-x2）（1-
    4
    x1x2
    ）＞0
    故f（x1）＞f（x2）
    所以，f（x）在（0，2]为上的减函数．
    ②任取x1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
    由题意，f（x1）-f（x2）=x1+
    4
    x1
    -(x2+
    4
    x2
    )
    =（x1-x2）+4
    x2-x1
    x1x2

    =（x1-x2）（1-
    4
    x1x2
    ）
    因为x1＜x2且x1，x2∈[2，+∞）
    则x1-x2＜0；
    x1x2＞4，0＜
    4
    x1x2
    ＜1    ，所以1-
    4
    x1x2
    ＞0
    =（x1-x2）（1-
    4
    x1x2
    ）＜0
    故f（x1）＜f（x2）
    所以，f（x）在为[2，+∞）上的增函数．
    ∴f（x）在（0，2]上为减函数，[2，+∞）上为增函数．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
    （1）讨论y=f（x）的单调性；（2）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有不等式
    1
    2
    [g(x1)+g(x2)]≥g(
    x1+x2
    2
    )    成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凹函数”．
    试证明：当a=-1时，g(x)=|f(x)|+
    1
    x
    为“凹函数”．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设函数f（x）=
    a2x-(t-1)
    ax
    （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数
    （1）求t的值；
    （2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x2）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
    （3）若函数f（x）的反函数过点(
    3
    2
    ，1)    ，是否存在正数m，且m≠1使函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log23]上的最大值为0，若存在求出m的值，若不存在请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
    （1）证明f（x）为奇函数．
    （2）证明f（x）在R上是减函数．
    （3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知函数f（x）=
    a
    a2-1
    （ax-a-x），（a＞0且a≠1）．
    （1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
    （2）当函数f（x）的定义域为（-1，1）时，求使f（1-m）+f（1-m2）＜0成立的实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知偶函数f（x）在（-∞，0]上是增函数，且f（1）=0，则满足xf（x）＜0的x的取值的范围为（　　）
    A．（-1，1）B．[-1，1]C．（-∞，-1）∪（0，1）D．（-1，0）∪（1，+∞）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数t使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t高调函数．如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是 ______．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是 ______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设函数f（x）=x2-2|x|-1（-3≤x≤3）
    （1）证明f（x）是偶函数；
    （2）指出函数f（x）的单调增区间；
    （3）求函数的值域．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    若f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=(
    1
    2
    )x+1    ，则f（x）的图象大致是（　　）
    A．B．C．D．

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