Question

【题目】已知函数，，为自然对数的底数.

（1）当时，证明：，；

（2）若函数在上存在两个极值点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先求导，再利用导数研究函数的单调性从而得证；

（2）先求导数，再讨论当时，当时，函数的单调性及极值情况，再求解即可.

（1）当时，，则，

当时，，则，又因为，

所以当时，，仅时，，

所以在上是单调递减，所以，即.

（2），因为，所以，，

①当时，恒成立，所以在上单调递增，没有极值点.

②当时，，令，

则在上单调递减，因为，，

当，即时，，，

所以在上单调递增，，，

所以，，即，所以单调递减，无极值点；

当，即时，存在，使，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，在处取极大值，

因为，所以，又因为，，

若存在两个极值点，即存在两个变号零点，则得，得，得，

此时存在，使得，，

当，，，，，，即在处取得极小值，在处取得极大值，，为的两个极值点，则此时.

综上可知若函数在上存在两个极值点，则实数的取值范围为：.