Question

11．设函数f（x）定义在R上，同时满足：
（1）对任意x∈R，f³（x）+f³（-x）=-3f（x）f（-x）[f（x）+f（-x）]都成立；
（2）对任意x≠y，有xf（x）+yf（y）＞xf（y）+yf（x）成立；
现若有f（m²+6m+21）+f（n²-8n）≤0，则m²+n²的取值范围是[9，49]．

Answer 1

分析 由条件①分解因式得f（-x）=-f（x）函数为奇函数，由条件②函数为增函数，不等式转化为（m+3）²+（n-4）²≤4，由几何意义推出，点（m，n）在圆（m+3）²+（n-4）²=4上及圆内，而m²+n²表示点（m，n）到原点的距离，结合几何意义易推结果．

解答 解：由条件①对任意x∈R，f³（x）+f³（-x）=-3f（x）f（-x）[f（x）+f（-x）]都成立；
分解因式得[f（x）+f（-x）][f²（x）+f²（-x）-f（x）f（-x）]=-3f（x）f（-x）[f（x）+f（-x）]，
所以[f（x）+f（-x）][f²（x）+f²（-x）+2f（x）f（-x）]=0，
所以[f（x）+f（-x）]³=0，
所以f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），函数为奇函数；
由条件②对任意x≠y，xf（x）+yf（y）≥xf（y）+yf（x）成立，
则xf（x）+yf（y）-xf（y）-yf（x）≥成立，
所以（x-y）[f（x）-f（y）]≥0，
所以：x＞y时f（x）≥f（y）]，x＜y时f（x）≤f（y）]，
所以函数为增函数；
若f（m²+6m+21）+f（n²-8n）≤0，等价于f（m²+6m+21）≤-f（n²-8n）=f（8n-n²），
所以m²+6m+21≤8n-n²，
所以m²+n²+6m-8n+21≤0，即（m+3）²+（n-4）²≤4，
∴点（m，n）在圆（m+3）²+（n-4）²=4上及圆内，而m²+n²表示点（m，n）到原点的距离，
故问题转化为圆上点到原点的距离最大与最小问题，
因为圆心到原点的距离为5，所以圆上的点到原点的最大距离为5+2=7，到原点的最小距离为5-2=3，
∴m²+n²的取值范围是[9，49]．
故答案为[9，49]．

点评 本题主要考查函数的奇偶性与单调性，特别是对抽象函数的考查，等价转化是解决问题的关键．