Question

1．已知f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的单调性；（不用证明）
（3）求f（x）在区间[1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数和对数函数的定义，分类讨论即可求出定义域；
（2）根据复合函数的单调性，同增异减，即可判断f（x）的单调性，
（3）根据函数的单调性，即可求出函数在某一段区间上的值域．

解答 解：（1）由a^x-1＞0，即a^x＞1，
当a＞1时，f（x）的定义域为（0，+∞），
当0＜a＜1时，f（x）的定义域为（-∞，0），
（2）当a＞1时，t=a^x-1为增函数，f（x）=log_at为增函数，所以f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，t=a^x-1为减函数，f（x）=log_at为减函数，所以f（x）为增函数；
综上所述，f（x）为增函数；
（3）由（1）（2）可知，a＞1，f（x）在区间[1，2]上为增函数，
f（1）≤f（x）≤f（2），
即log_a（a-1）≤f（x）≤log_a（a²-1）
所以值域为[log_a（a-1），log_a（a²-1）]．

点评 本题考查了对数函数的图象和性质，以及分类讨论的思想，属于基础题．