Question

12．已知函数f（x）=|x+1|-|2x-1|．
（1）求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若不等式f（x）＜a对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）两边平方，去掉绝对值号，解不等式即可；（2）先求出f（x）的单调区间，从而求出函数的最大值，进而求出a的范围即可．

解答 解：（1）|x+1|≥|2x-1|⇒x²+2x+1≥4x²-4x+1，
解得：0≤x≤2，
∴f（x）≥0的解集为{x|0≤x≤2}；
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）-（2x-1）=-x+2，（x＞\frac{1}{2}）}\\{（x+1）-（1-2x）=3x，（-1≤x≤\frac{1}{2}）}\\{-（x+1）-（1-2x）=x-2，（x＜-1）}\end{array}\right.$，
易知f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，
∴a＞f（x）_max，即a＞$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查函数的单调性、最值问题，是一道基础题．