Question

9．已知函数f（x）=（sinx+$\sqrt{3}$cosx）²-2．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函数g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域．

Answer 1

分析 （1）首先，结合辅助角公式，化简函数解析式，然后，利用降幂公式进行处理即可，然后，结合正弦函数的单调性和周期进行求解；
（2）首先，化简函数g（x）的解析式，然后，结合所给角度的范围，换元法进行转化为二次函数的区间最值问题进行求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=（sinx+$\sqrt{3}$cosx）²-2．
=[2sin（x+$\frac{π}{3}$）]²-2
=4sin²（x+$\frac{π}{3}$）-2
=2[1-cos（2x+$\frac{2π}{3}$）]-2
=-2cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
∴f（x）=-2cos（2x+$\frac{2π}{3}$），
可以令2kπ≤2x+$\frac{2π}{3}$≤π+2kπ，k∈Z，
∴kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴函数f（x）的单调递增区间[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1
=$\frac{1}{2}$×4cos²（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos[2（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{2π}{3}$]-1
=2cos²（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos（2x+$\frac{π}{2}$+$\frac{2π}{3}$）-1
=2cos²（2x+$\frac{2π}{3}$）-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-1
=2-2sin²（2x+$\frac{2π}{3}$）-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）-1
=-2sin²（2x+$\frac{2π}{3}$）-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+1
∴g（x）=-2sin²（2x+$\frac{2π}{3}$）-2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+1
令sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=t，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴-$\frac{π}{3}$≤2x≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，
∴sin（2x+$\frac{2π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴y=-2t²-2t+1，t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+1+$\frac{1}{2}$
=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{2}$，
∴最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为-3．
∴值域为[-3，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题重点考查了三角公式、辅助角公式、降幂公式、两角和与差的三角公式等知识，属于中档题．