【题目】在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列{n∈N+}.
求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;
【答案】a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.证明见解析.
猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N*.
【解析】
解:由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1,
由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N*. 4分
用数学归纳法证明:
①当n=1时,由已知a1=2,b1=4可得结论成立.
②假设当n=k(k≥2且k∈N*)时,结论成立,即
ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
那么当n=k+1时,
ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),
bk+1===(k+2)2.
所以当n=k+1时,结论也成立.
由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切n∈N*都成立.
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【题目】成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.
(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)数列{bn}的前n项和为Sn,求证:数列{Sn+}是等比数列.
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【题目】已知椭圆左顶点为M,上顶点为N,直线MN的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)直线l:与椭圆交于A,C两点,与y轴交于点P,以线段AC为对角线作正方形ABCD,若.
()求椭圆方程;
()若点E在直线MN上,且满足,求使得最长时,直线AC的方程.
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【题目】年年初,新冠肺炎疫情防控工作全面有序展开.某社区对居民疫情防控知识进行了网上调研,调研成绩全部都在分到分之间.现从中随机选取位居民的调研成绩进行统计,绘制了如图所示的频率分布直方图.
求的值,并估计这位居民调研成绩的中位数;
在成绩为,的两组居民中,用分层抽样的方法抽取位居民,再从位居民中随机抽取位进行详谈.记为位居民的调研成绩在的人数,求随机变量的分布列.
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【题目】已知为等差数列,为等比数列,公比为q(q≠1).令A=.A={1,2},
(1)当,求数列的通项公式;
(2)设,q>0,试比较与(n≥3)的大小?并证明你的结论.
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【题目】某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位:℃)的数据,绘制了下面的折线图.( )
已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系,则根据折线图,下列结论正确的是
A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温
C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D.最低气温低于0 ℃的月份有4个
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【题目】任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为素数作出判断.算法:第一步:判断n是否等于2.若______,则_______;若______,则执行第二步;第二步:依次从_______是不是n的因数,若有_________,则n不是_________数;若_______,则n____________.
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