Question

已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，集合B={x|-

1

2

＜x≤2}．
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围；
（3）A、B能否相等．若存在，求出这样的实数a，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由A⊆B得到集合A是集合B的子集，即集合A包含在集合B中，构造满足条件的关于a的不等式组，解不等式组，即可求出a的取值范围．
（2）由B⊆A得到集合B是集合AB的子集，即集合B包含在集合A中，构造满足条件的关于a的不等式组，解不等式组，即可求出a的取值范围．
（3）若A=B，则A⊆B且B⊆A，结合（1）（2）的结论，即可得到答案．

解答：解：（1）当a＞0时，
A=（-

1

a

，

4

a

]，
∵A是B的子集，B={x|-

1

2

＜x≤2}
∴-

1

a

≥-

1

2

且

4

a

≤2，
∴a≥2
当a＜0时，A=[

4

a

，-

1

a

），
∵A是B的子集，B={x|-

1

2

＜x≤2}
∴

4

a

＞-

1

2

且-

1

a

≤2，
∴a＜-8
当a=0时，A=R，不满足要求
∴a∈（-∞，-8）∪[2，+∞）
（2）∵B是A的子集，
∴a＞0时，-

1

a

≤-

1

2

且

4

a

≥2
∴0＜a≤2
∴a＜0时，

4

a

≤-

1

2

且-

1

a

＞2，
∴0＞a＞-

1

2

当a=0时，A=R，满足条件
∴a∈（-

1

2

，2]．
（3）A=B，则A⊆B且B⊆A，
即a∈（-

1

2

，2]∩（（-∞，-8）∪[2，+∞） ）
则a=2

点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合相等的概念，其中将集合包含关系转化区间端点间的大小关系比较，进行构造出关于a的不等式，是解答本题的关键．