Question

（1）已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x²+y²+z²=24，求证：．
（2）已知a₁，b₁，x₁，x₂∈R₊，ab=1，x₁+x₂=2，求证：（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥4
（3）已知．

Answer 1

【答案】分析：（1）用x表示y+z和y²+z²，即y+z=8-x，y²+z²=24-x²．再利用柯西不等式（y²+z²）（1+1）≥（y+z）²
得到关于x的一元二次不等式（24-x²）（1+1）≥（8-x）²，化简求得x的范围即可，同理可求得y和z的范围
（2）直接利用柯西不等式证明得到；
（3）直接利用柯西不等式证明得到．
解答：证明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x²+y²+z²=24，∴y+z=8-x，y²+z²=24-x²．
又由柯西不等式可知（y²+z²）（1+1）≥（y+z）²，即（24-x²）（1+1）≥（8-x）²，
化简后可得，同理可证，．
（2）∵a₁，b₁，x₁，x₂∈R₊，ab=1，x₁+x₂=2，
∴=（x₁+x₂）²=4．
∴（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R₊a+b+c+d=1，
∴．
点评：此题考查柯西不等式应用．