Question

玩具所需成本费用为P元，且P与生产套数x的关系为P=1000+5x+

1

10

x2，而每套售出的价格为Q元，其中Q（x）=a+

x

30

（a∈R），
（1）问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本费用最少？
（2）若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，求a的值．（利润=销售收入-成本）

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意，每套“福娃”所需成本费用为

p

x

，建立函数的解析式，再利用基本不等式求函数的最值；
（2）根据利润=销售收入-成本，求出利润函数xQ（x）-P，再利用当产量为150套时利润最大，即可求a的值．

解答： 解：（1）由题意，每套“福娃”所需成本费用为

p

x

=

1000+5x+ 1 10 x2

x

=

1

10

x+

1000

x

+5≥2

100

+5=25，
当

1

10

x=

1000

x

，即x=100时，每套“福娃”所需成本费用最少为25元．（6分）
（2）利润为xQ（x）-P=x（a+

x

30

）-（1000+5x+

1

10

x2）=-

1

15

x²+（a-5）x-1000（9分）．
由题意，当产量为150套时利润最大，
∴

a-5

2× 1 15

=150，
解得a=25．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，考查二次函数的最值，确立函数模型是关键．