Question

已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）-xf′（x）＞0（其中f′（x）是f（x）的导函数）．设a=

log24

f(log24)

，b=

2

f( 2 )

，c=

lg 1 5

f(lg 1 5 )

，则a，b，c的大小关系是（　　）

• A、c＞a＞b
• B、c＞b＞a
• C、a＞b＞c
• D、a＞c＞b

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数g（x）=

x

f(x)

，g′(x)=

f(x)-xf′(x)

f2(x)

．根据当x＞0时，f（x）-xf′（x）＞0，可得g′（x）＞0．于是当x＞0时，函数g（x）单调递增．再利用函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，可得c=

lg 1 5

f(lg 1 5 )

=

-lg5

f(-lg5)

=

lg5

f(lg5)

．即可得出．

解答： 解：构造函数g（x）=

x

f(x)

，g′(x)=

f(x)-xf′(x)

f2(x)

．
∵当x＞0时，f（x）-xf′（x）＞0，
∴g′（x）＞0．
∴当x＞0时，函数g（x）单调递增．
∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴c=

lg 1 5

f(lg 1 5 )

=

-lg5

f(-lg5)

=

lg5

f(lg5)

．
∵log₂4=2，1＜

2

＜2，0＜lg5＜1．
a=

log24

f(log24)

，b=

2

f( 2 )

，c=

lg 1 5

f(lg 1 5 )

，
∴c＜b＜a．
故选：C．

点评：本题考查了函数的奇偶性单调性，考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．