Question

2．已知正实数a，b，c满足$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1$，求证：$a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}≥9$．

Answer 1

分析 a，b，c是正实数，利用基本不等式可得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$≥3$\root{3}{\frac{1}{a}•\frac{2}{b}•\frac{3}{c}}$，a+$\frac{b}{2}$+$\frac{c}{3}$≥3$\root{3}{a•\frac{b}{2}•\frac{c}{3}}$，相乘即可证明结论．

解答 证明：∵a，b，c是正实数，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$≥3$\root{3}{\frac{1}{a}•\frac{2}{b}•\frac{3}{c}}$，a+$\frac{b}{2}$+$\frac{c}{3}$≥3$\root{3}{a•\frac{b}{2}•\frac{c}{3}}$，
∴（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$+$\frac{3}{c}$）（a+$\frac{b}{2}$+$\frac{c}{3}$）≥3$\root{3}{\frac{1}{a}•\frac{2}{b}•\frac{3}{c}}$•3$\root{3}{a•\frac{b}{2}•\frac{c}{3}}$=9，
∵$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=1$，∴$a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}≥9$．
当且仅当a=3，b=6，c=9时，等号成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．