Question

11．设 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$ 是任意的非零向量，且相互不共线，有下列命题：①（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{b}$=0②|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|③（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$共线 ④（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=9|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{b}$|²其中正确的是②④．

Answer 1

分析 由向量共线和相等的概念可得①错；由于向量的模的不等式，可得②正确；
由向量共线的定理，可得（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，进而判断③错误；
运用向量的平方即为模的平方，即可判断④正确．

解答 解：对于①，（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{c}$共线，（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$共线，
即有它们不一定相等，故①错；
对于②，由于$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，即有|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
故②正确；
对于③，若（$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{c}$-（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$共线，即有（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，
这不一定成立，故③错误；
对于④，（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=9$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{b}$²=9|$\overrightarrow{a}$|²-4|$\overrightarrow{b}$|²，故④正确．
故答案为：②④．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量的共线和向量的模的不等式，属于基础题和易错题．