Question

已知A（a，a²）为抛物线y=x²上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且

AP

=2

PB

．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点C(0，

1

12

)到动直线l的最短距离，并求此时l的方程．

Answer 1

（1）设P（x，y）因为y_A′=2x|_x=a=2a，所以过点A的切线方程为y-a²=2a（x-a）．
令x=0，则y=-a²，B点坐标为（0，-a²），
又

AP

=2

PB

，

AP

=（x-a，y-a²），

PB

=（-x，-a²-y）
∴

x-a=-2x y-a2=2(-a2-y)

化简得，

x= a 3 y=- a2 3

消去a，得y=-3x²
∴点P的轨迹方程为y=-3x²
（2）设C到l的距离为d，则d=

1 12 +a2

4a2+1

=

1

4

[

4a2+1

-

2 3

4a2+1

]
设

4a2+1

=t(t≥1)，则d=

1

4

(t-

2

3

•

1

t

)，d为t的增函数，
∴dmin=

1

4

(1-

2

3

)=

1

12

故C到l的最短距离为

1

12

，此时l的方程为y=0．