Question

如图所示，已知菱形ABCD的边长为2，将其沿对角线BD折成直二面角A-BD-C．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）若二面角A-BC-D的平面角的正切值为2，求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析：（1）取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，可得BD⊥平面AOC，从而可得AC⊥BD；
（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，则∠AEO为二面角A-BC-D的平面角，利用二面角A-BC-D的平面角的正切值为2，可得AO=CO=

3

，BD=2，从而可求三棱锥A-BCD的体积．

解答：（1）证明：取BD中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD
∵AO∩CO=O，
∴BD⊥平面AOC，
∵AC?平面AOC，
∴AC⊥BD；
（2）解：过O作OE⊥BC于E，连接AE，则AO⊥面BCD，∴AO⊥BC
∵OE∩AO=O，∴BC⊥面AEO
∴∠AEO为二面角A-BC-D的平面角
∵二面角A-BC-D的平面角的正切值为2
∴

AO

OE

=2
∴OE=

1

2

AO=

1

2

CO
∴∠OCB=30°
∴∠BCD=60°
∴AO=CO=

3

，BD=2
∴三棱锥A-BCD的体积为V=

1

3

×

1

2

×2×

3

×

3

=1．

点评：本题考查线面垂直，线线垂直，考查三棱锥的体积，掌握线面垂直的判定，正确利用三棱锥的体积公式是关键．