Question

11．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，AP=AB=2，F是PB的中点，E是BC上的动点．
（1）证明：PE⊥AF；
（2）若BC=2BE=4$\sqrt{3}$，求直线AP与平面PDE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）建立如图所示空间直角坐标系．设BE=a，证明：$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{AF}=0$，即可证明PE⊥AF；
（2）求出平面PDE的法向量，即可求直线AP与平面PDE所成角的大小．

解答 （1）证明：建立如图所示空间直角坐标系．设BE=a
则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0）
   
于是，$\overrightarrow{PE}=（a，2，-2）$，$\overrightarrow{AF}=（0，1，1）$，
则$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{AF}=0$，所以AF⊥PE．
（2）解：由$BC=2BE=4\sqrt{3}$，得$D（4\sqrt{3}，0，0）$，$E（2\sqrt{3}，2，0）$，$\overrightarrow{PD}=（4\sqrt{3}，0，-2）$，
$\overrightarrow{PE}$=（2$\sqrt{3}$，2，-2）设平面PDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$（{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{PE}=0}\end{array}}\right.$，得：$\left\{{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}x-2z=0}\\{2\sqrt{3}x+2y-2z=0}\end{array}}\right.$，令x=1，则$z=2\sqrt{3}，y=\sqrt{3}$，
于是$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，2\sqrt{3}）$，而$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，
设AP与平面PDE所成角为θ，所以$sinθ=\frac{{|\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}|}}{{|\overrightarrow n||\overrightarrow{AP}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以AP与平面PDE所成角θ为60°．

点评 本题考查向量知识的运用，考查线线垂直，考查线面角，正确求出平面的法向量是关键．