Question

2．某地拟在一个U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一条堤坝（E在AP上，N在BQ上），围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉2条分割线ME，MN，将所围区域分成3个部分（如图），每部分种植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，设所拉分割线总长度为l．
（1）设∠AME=2θ，求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析 （1）设∠AME=2θ，求出EM，MN，即可求用θ表示的l函数表达式，并写出定义域；
（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），即可求l的最小值．

解答 解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，
∴△BMN≌△EMN，
∴∠BNM=∠MNE，
∵∠AME=2θ，
∴∠BNM=∠MNE=θ，
设MN=x，
在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，
∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，
∵AM+BM=a，
∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，
∴x=$\frac{a}{sinθcos2θ+sinθ}$，
∴l=EM+MN=$\frac{a}{2sinθ（1-sinθ）}$，θ∈（0，$\frac{π}{4}$）；
（2）令f（θ）=sinθ（1-sinθ），sinθ∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴f（θ）≤$\frac{1}{4}$，
当且仅当θ=$\frac{π}{6}$时，取得最大值$\frac{1}{4}$，此时l_min=2a．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．