Question

已知椭圆方程是椭圆的左焦点，直线l为对应的准线，直线l与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，过P点任作一条割线AB（如图），则∠AFM与∠BFN的大小关系为（ ）

A．∠AFM＞∠BFN
B．∠AFM＜∠BFN
C．∠AFM=∠BFN
D．无法判断

Answer 1

【答案】分析：当AB斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN成立；当AB斜率不为0时，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，进而可得直线AF，BF的斜率的和为0，从而可得结论．
解答：解：当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0．
当AB的斜率不为0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程为x=my-8，
代入椭圆方程，整理得（3m²+4）y²-48my+144=0
则△=（48m）²-4×144（3m²+4），
∴y₁+y₂=，y₁y₂=
∴k_AF+k_BF=+===0
∴k_AF+k_BF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综上可知：恒有∠AFM=∠BFN．
故选C．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查斜率的计算，属于中档题．