Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面为一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．

(1)证明EB∥平面PAD．

(2)若PA＝AD，证明BE⊥平面PDC．

Answer 1

答案：
解析：

证明：如图，建立空间直角坐标系， 　　设AB＝1，则CD＝2．设AD＝b，AP＝c． 　　(1)方法一：＝(－b，0，0)，＝(0，0，c)． 　　∵B(0，1，0)，E()， 　　∴＝()＝＋． 　　∴、、共面． 　　又AD∩AP＝A，BE平面PAD， 　　∴EB∥平面PAD． 　　方法二：∵＝()， 　　平面PAD的一个法向量为n＝(0，1，0)． 　　∴·n＝0．∴⊥n． 　　又BE平面PAD，∴BE∥平面PAD． 　　(2)方法一：∵PA＝AD，∴＝(b，0，b)． 　　又＝(0，2，0)，＝()， 　　∴·＝0，·＝0． 　　∴BE⊥DP，BE⊥DC． 　　∵DP∩DC＝D，∴BE⊥平面PDC． 　　方法二：设平面PCD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 　　则 　　∵＝(0，2，0)，＝(b，0，b)， 　　∴令z1＝1，则x1＝－1． 　　∴n1＝(－1，0，1)． 　　又∵＝()， 　　∴＝n1，∴∥n1． 　　∴BE⊥平面PDC．

提示：

根据图形特点，建立空间直角坐标系，利用向量知识解决问题．关键是把其中各个点的坐标写准确．