Question

15．令a_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{60}$+…+$\frac{1}{{nC}_{n-1}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1{）C}_{n}^{2}}$，求a_n．

Answer 1

分析 化简$\frac{1}{（n+1{）C}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{（n+1）\frac{n（n-1）}{2×1}}$=$\frac{1}{（n-1）n}$-$\frac{1}{n（n+1）}$，从而解得．

解答 解：∵$\frac{1}{（n+1{）C}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{（n+1）\frac{n（n-1）}{2×1}}$
=$\frac{1}{（n-1）n}$-$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴a_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{60}$+…+$\frac{1}{{nC}_{n-1}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1{）C}_{n}^{2}}$
=（$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×3}$）+（$\frac{1}{2×3}$-$\frac{1}{3×4}$）+（$\frac{1}{3×4}$-$\frac{1}{4×5}$）+（$\frac{1}{4×5}$-$\frac{1}{5×6}$）+…+（$\frac{1}{（n-1）n}$-$\frac{1}{n（n+1）}$）
=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{n（n+1）}$
=$\frac{{n}^{2}+n-2}{2{n}^{2}+2n}$．

点评 本题考查了数列的通项公式的求法，同时考查了裂项求和的应用，属于中档题．