Question

5．△ABC中，sinA=$\frac{5}{13}，cosB=\frac{4}{5}$
（1）若△ABC中b=3，求边a的长；
（2）求cosC的值．

Answer 1

分析 （1）先根据条件判断A、B都是锐角，利用同角三角函数的基本关系求出cosA和sinB的值，由正弦定理即可求得a的值；
（2）利用（1）的结论，由cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB运算求得结果．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）△ABC中，已知sinA=$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{4}{5}$，
则sinB=$\frac{3}{5}$，且B为锐角；
故由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{3×\frac{5}{13}}{\frac{3}{5}}$=$\frac{25}{13}$…5分
（2）由（1）可得sinB＞sinA，则B＞A；
故A、B都是锐角，且cosA=$\frac{12}{13}$，sinB=$\frac{3}{5}$，
则cosC=-cos（A+B）=-cosA cosB+sinA sinB=-$\frac{48}{65}$+$\frac{15}{65}$=-$\frac{33}{65}$…12分

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，求出cosA和sinB 的值，是解题的关键，属于中档题．