Question

13．已知全集U=R，集合A={x|2≤x＜5}，集合B={x|y=$\sqrt{x-3}$+lg（9-x）}，集合C={y|y=3^x，x∈（-1，a]}
（1）求A∩（∁_UB）；
（2）若A∩C=A，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由根式内部的代数式大于等于0且对数的真数大于0联立求解x的取值集合得B；直接利用补集和交集的概念求解．
（2）根据指数函数的性质求出集合C，再根据A∩C=A，得到A⊆C，继而得到a的范围．

解答 解：（1）要使原函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{x-3≥0}\\{9-x＞0}\end{array}\right.$，解得3≤x＜9，
∴B={x|3≤x＜9}；
∴C_UB={x|x＜3或x≥9}，
∴A∩（C_UB）={x|2≤x＜5}∩{x|x＜3或x≥9}={x|2≤x＜3}，
（2）集合C={y|y=3^x，x∈（-1，a]}=（$\frac{1}{3}$，3^a]，
∵A∩C=A，
∴A⊆C，
∴3^a≥5，
∴a≥log₃5，
故a的取值范围为[log₃5，+∞）．

点评 本题考查了对数函数的定义域，指数函数的值域的求法，考查了补集和交集的运算，是基础题