Question

14．与点A（1，2）距离为1，同时与点B（3，-1）距离为2的直线的条数为（　　）

• A． 1条
• B． 2条
• C． 3条
• D． 4条

Answer 1

分析 解法一：取线段AB上的一点P，满足|BP|=2|AP|．由于|AB|＞3，可得过点P的直线有两条满足：与点A（1，2）距离为1，同时与点B（3，-1）距离为2的直线．又分别在直线AB的两侧各有一条直线满足条件．即可得出．
解法二：与点A（1，2）的距离为1，即直线为以A为圆心，1为半径的圆的切线；与点B（3，1）距离为2，即直线为以B为圆心，2为半径的圆的切线．判断两圆的位置关系即可得出．

解答 解法一：取线段AB上的一点P，满足|BP|=2|AP|．
∵|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$＞3，
∴过点P的直线有两条满足：与点A（1，2）距离为1，同时与点B（3，-1）距离为2的直线．
又分别在直线AB的两侧各有一条直线满足条件．
综上可得：满足条件的直线有4条．
解法二：与点A（1，2）的距离为1，即直线为以A为圆心，1为半径的圆的切线；
与点B（3，-1）距离为2，即直线为以B为圆心，2为半径的圆的切线．
∵|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$＞3，
∴两圆外离，
∴两圆有4条切线．
∴满足条件的直线有4条．
故选：D．

点评 本题考查了点到直线的距离公式、对称性、两圆的位置关系判定，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．