Question

若数列满足且（其中为常数），是数列的前项和，数列满足.

（1）求的值；

（2）试判断是否为等差数列，并说明理由；

（3）求（用表示）.

 

Answer 1

（1）;（2）当时，数列为等差数列；当时，数列不为等差数列;（3）

 

【解析】

试题分析：（1）根据题意取时，即得，可求出 ；（2）由题中所给条件： ，结合题中目标不难得到：，两式相加后得： ，即，再替换一下即可得：，联想与等差数列列的定义可得：，再单独考虑一下前三项即：当且仅当，，为等差数列，数列为等差数列，可求得，即可得出结论；（3）由题中所给条件，可替换得，进一步可化简得： ，即，这样就可求出： ，即可得： ；而再由（2）中所求，又因为，则可得， ，由，这样就可求出另外三种情形： ，，，即问题可求解．

（1）由题意，得，. 4分

（2），，

，即，，

，于是当且仅当，，为等差数列，数列为等差数列， 7分

又，， ，，

，，，由，，为等差数列，得，

当时，数列为等差数列；当时，数列不为等差数列. 10分

（3），，

，即，

，

，，

. 13分

由（2），，， ，

由，，，

又，，,

，，，

16分

考点：1.等差数列的定义;2.数列的递推关系;3.代数式的处理能力