Question

设函数f（x）对任意实数x₁、x₂都满足f（x₁）+f（x₂）=2f（）（），且f（）=0，f（x）不恒等于0，求证：
（1）f（0）=1；（2）f（x+π）=-f（x）；（3）f（x+2π）=f（x）
（4）f（x）=f（-x）； （5）f（2x）=2f²（x）-1

Answer 1

证明：由题设f（x）对任意实数x₁、x₂都满足f（x₁）+f（x₂）=2f（）（），且f（）=0，f（x）不恒等于0，
（1）令x₁=x₂=0，得f（0）+f（0）=2f（0）×f（0），即2f（0）×[f（0）-1]=0，故f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，则f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0，故对任意的x有f（x）═0恒成立，这与f（x）不恒等于0矛盾，
故f（0）=1；
（2）f（x+π）+f（x）=2f（x+）f（）=0，∴f（x+π）=-f（x）；
（3）由（2）的结论知f（x+2π）-f（x）=f（x+2π）+f（x+π）=2f（x+）×f（）=0，∴f（x+2π）=f（x）
（4）∵f（x）-f（-x）=f（x）+f（-x+π）=2f（x-）f（）=0，∴f（x）=f（-x）；
（5）∵f（2x）+1=f（2x）+f（0）=2f²（x），∴f（2x）=2f²（x）-1
分析：观察题设条件可以看出，本题的证明可以借助同性质的余弦函数的性质来证明．本题中各个小题之间有一定的关系，后一个的证明要充分利用前一个的结论．
（1）赋值求值，令x₁=x₂=0，得f（0）的方程，解方程求值，解出的两个解中有一个需要排除，本小题的证明稍嫌繁琐．
（2）利用（1）结论与题设中所给的恒等关系证明f（x+π）=-f（x）的等价形式f（x+π）+f（x）=0；
（3）利用（2）的结论证明其等价方程f（x+2π）-f（x）=0；
（4）利用（2）的结论证明其等价方程f（x）-f（-x）=0；
（5）利用（1）的结论凑成题设中的恒等式的形式进行恒等变形证其等价形式f（2x）+1=2f²（x）．
点评：本题的考点是抽象函数的证明，在求解此类题目时，应发挥自己的想象力，看它的性质与自己熟悉的那一个函数比较类似，参考相关的函数的性质来证明这个抽象函数是破题的一个好办法．