Question

小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元.经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数及天数如下表：

售出个数	10	11	12	13	14	15
天数	3	3	3	6	9	6

试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题：
（1）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；
（2）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量.试求小王增加订购量的概率.
（3）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望.

Answer 1

（1）0.5；（2）；（3）分布列为

利润	80	95	110	125	140
概率	0.1	0.1	0.1	0.2	0.5

 
数学期望为123.5元.

试题分析：（1）由于小王某天售出该现烤面包超过13个的情况有三种：恰14个和恰15个，由题中表格易得：小王某天售出该现烤面包恰14个和恰15个的概率分别为，再由小王某天售出该现烤面包恰14个和恰15个这两个事件是互斥的，所以小王某天售出该现烤面包超过13个的概率就等于上述两个概率之和为：0.3+0.2=0.5．
（2）设在最近的5天中售出超过13个的天数为，由于每天售出的个数要么超过13个，要么不超过13个只有这两种结果，且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变各为0.5，所以服从参数为5和0.5的二项分布，即，从而事件“小王增加订购量”的概率，即是>3的概率,而,再由二项分布的概率公式可算得事件“小王增加订购量”的概率；
（3）由于小王每天订购14个现烤面包，则可设其一天的利润为元，由已知求出的所有可能取值，并结合题只所给条件可得到的每一个可能取值的概率，从而求得其分布列，在由数学期望公式：就可求得所获利润的数学期望．
试题解析：（1）记事件A=“小王某天售出超过13个现烤面包”，  1分
用频率估计概率可知：
.   2分
所以小王某天售出超过13个现烤面包的概率为0.5.  3分
（2）设在最近的5天中售出超过13个的天数为，
则.    ..5分
记事件B=“小王增加订购量”，
则有，
所以小王增加订购量的概率为.     8分
（3）若小王每天订购14个现烤面包，设其一天的利润为元，则的所有可能取值为80，95，110，125，140.    9分
其分布列为

利润	80	95	110	125	140
概率	0.1	0.1	0.1	0.2	0.5

                                                        11分
则
所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为123.5元.   ..13分