Question

（2008•宁波模拟）在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，∠CDA=∠DAB=90°CD=1，AD=2，AB=4，且∠APD=30°，M为PB的中点．
①求证：PB⊥平面AMC；
②求直线AM与平面PAD所成的角；
③求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析：①根据∠PDC=∠PDA=∠CDA=90°，故以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为Z轴建立空间坐标系，根据条件求出向量

PB

，

AC

，

AM

，从而根据

PB

•

AC

=0，

PB

•

AM

=0得PB⊥AC，PB⊥AM，而AC∩AM=A，根据线面垂直的判定定理可得结论；
②平面PAD的法向量为

.

DC

=(0，1，0)，根据cos＜

AM

，

DC

＞=

AM DC

| AM || DC |

可求出AM与DC所成的角，从而求出PM与平面PAD所成的角；
③设平面PBC的法向量为

n

，根据法向量与

CP

、

CR

垂直求出

n

，又

BA

=（0，-4，0）根据cos＜

BA

，

n

＞=

BA • n

| BA| •  |n|

可求出AB与平面PBC的所成角的正弦值，从而点A到平面PBC的距离．

解答：解：①因∠PDC=∠PDA=∠CDA=90°
故以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为Z
轴建立空间坐标系
因∠ADP=30°，AD=2，
∴PD=2

3

，又∠DAB=90°，
从而有D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0）
C（0，1，0），P（0，0，2

3

）
∴M（1，2，

3

）
则

PB

=(2，4，-2

3

)，

.

AC

=(-2，1，0)，

AM

=(-1，2，

3

)
从而

PB

•

AC

=0，

PB

•

AM

=0，
∴PB⊥AC，PB⊥AM，而AC∩AM=A
故PB⊥平面AMC…（5分）
②平面PAD的法向量为

.

DC

=(0，1，0)
cos＜

AM

，

DC

＞=

AM DC

| AM || DC |

=

2

2 2 ×1

=

2

2

即AM与DC所成的角为45°，故PM与平面PAD所成的角为45°…（9分）
③设平面PBC的法向量为

n

=(x，y，z)，

CP

=(0，-1，2

3

)，

CB

=(2，3，0)
由

CP

•

n

=0有y=2

3

z，

CR

•

n

=0有2x+3y=0
取z=

3

3

，则y=2，x=-3，
∴

.

n

=(-3，2，

3

3

)
又

BA

=（0，-4，0）则cos＜

BA

，

n

＞=

BA • n

| BA| •  |n|

=

-8

4× 2 10 3

=-

30

10

则AB与平面PBC的所成角的正弦值为

3

10

从而点A到平面PBC的距离为d=|

.

BA

|•

3

10

=

2 30

5

…（14分）

点评：本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，以及线面垂直的判定和点到平面的距离，同时考查了计算能力，属于中档题．