Question

已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）
（1）设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；
（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于

2

5

？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）以B为原点，BA，BP，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABCD的一个法向量，由此能证明EM∥平面ABCD．
（Ⅱ）求出平面PCD的法向量和平面PCD的一个法向量，由此利用向量法能求出线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于

2

5

．

解答： （Ⅰ）证明：由三视图知，BA，BP，BC两两垂直，故以B为原点，BA，BP，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，…（1分）
则P（0，2，0），D（2，0，1），M（1，1，

1

2

），E（2，1，0），C（0，0，1），
所以

EM

=（-1，0，

1

2

），
平面ABCD的一个法向量等于

n

=（0，1，0），…（3分）
所以

EM

•

n

=（-1，0，

1

2

）•（0，1，0）=0，所以

EM

⊥

n

，（4分）
又EM?平面ABCD，所以EM∥平面ABCD．（5分）
（Ⅱ）解：当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为

2

5

．（6分）
理由如下：
因为

PD

=（2，-2，1），

CD

=（2，0，0），设平面PCD的法向量为

m

=（x，y，z），
由

m • PD =2x-2y+z=0 m • CD =2x=0

，所以x=0，z=2y，（7分）
取y=1，得平面PCD的一个法向量

m

=（0，1，2）．（8分）
假设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于

2

5

．
设

PN

=λ

PD

（0≤λ≤1），
则

PN

=λ（2，-2，1）=（2λ，-2λ，λ），

BN

=

BP

+

PN

=（2λ，2-2λ，λ）．（9分）
所以sinα=|cos＜

BN

，

m

＞|=

| BN • m |

| BN || m |

=

|2-2λ+2λ|

5 9λ2-8λ+4

=

2

5

，（12分）
所以9λ²-8λ-1=0，解得λ=1，或λ=-

1

9

．（舍去）．
因此，线段PD上存在一点N，当N点与D点重合时，
直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于

2

5

． （13分）

点评：本题考查考查直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．