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已知定义域在R上的单调函数y=f(x),存在实数x0,使得对于任意的实数x1,x2,总有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+f(x1)+f(x2)恒成立.
(1)求x0的值;
(2)若f(x0)=1,且对任意正整数n,有an=
1
f(n)
,bn=f(
1
2n
)+1,记Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,求an与Tn
(3)在(2)的条件下,若不等式an+1+an+2+…+a2n
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]
对任意不小于2的正整数n都成立,求实数x的取值范围.
分析:(1)利用赋值法,先令 x1=x2=0,再令x1=1,x2=0,代入已知恒等式即可;
(2)确定f(n)=2n-1,可求an,证明数列{bn}为等比数列,利用等比数列前n项和公式即可求得Tn
(3)令F(n)=an+1+an+2+…+a2n,当n≥2时,F(n)>F(n-1)>…>F(2),从而可得不等式组,即可求实数x的取值范围.
解答:解:(1)令x1=x2=0,得f(0)=f(x0)+2f(0),∴f(x0)=-f(0)①
令x1=1,x2=0,得f(x0)=f(x0)+f(1)+f(0),∴f(1)=-f(0)②
由①②得f(x0)=f(1)
又∵f(x)是单调函数,
∴x0=1;
(2)由(1)可得 f(x1+x2)=f(1)+f(x1)+f(x2)+1
则f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2
又∵f(1)=1
∴f(n)=2n-1(n∈N*),
∴an=
1
2n-1

∵f(1)=f(
1
2
+
1
2
)=f(
1
2
)+f(
1
2
)+f(1),
∴f(
1
2
)=0,∴b1=f(
1
2
)+1=1
f(
1
2n
)=f(
1
2n+1
+
1
2n+1
)=2f(
1
2n+1
)+f(1)=2f(
1
2n+1
)+1

2bn+1=2f(
1
2n+1
+
1
2n+1
)=2f(
1
2n+1
)+2=f(
1
2n
)+1=bn

bn=(
1
2
)n-1

∴Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
2
3
[1-(
1
4
)n]

(3)令F(n)=an+1+an+2+…+a2n
则F(n+1)-F(n)=
1
4n+1
+
1
4n+3
-
1
2n+1
>0
当n≥2时,F(n)>F(n-1)>…>F(2)=a3+a4=
12
35

12
35
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]

log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)<2

x+1>0
9x2-1>0
x+1
9x2-1
1
4
,解得-
5
9
<x<-
1
3
1
3
<x<1

x∈(-
5
9
,-
1
3
)∪(
1
3
,1)
点评:本题考查了函数与数列的综合应用能力,抽象函数表达式的应用,等差等比数列的定义,等比数列的前n项和公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为R上的函数f(x)满足,对任意的x,y,恒有f(x-y)=
f(x)f(y)
且当x>0时,0<f(x)<1

(1)求证f(0)=1,且当x<0时有f(x)>1.
(2)判断f(x)在R上的单调性并证明.
(3)若对任意的x∈R,不等式f(ax2)•f(1-ax)>f(2)恒成立,求实数a的取值范围.

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已知定义域为R的函数f(x)=a+
12x+1
是奇函数.
(1)求a的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性,并证明你的结论.
(3)是否存在实数k,对于任意t∈[1,2],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,若存在,求出实数k的取值范围,若不存在,说明理由.

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已知定义在R上的函数f(x)=a-
1
2x+1
是奇函数,其中a为实数.
(1)求a的值;  
(2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性并证明;
(3)当m+n≠0时,证明
f(m)+f(n)
m+n
>f(0)

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(2012•宝山区一模)已知函数f(x)=
-3x+a3x+1+b

(1)当a=b=1时,求满足f(x)≥3x的x的取值范围;
(2)若y=f(x)的定义域为R,又是奇函数,求y=f(x)的解析式,判断其在R上的单调性并加以证明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,若f(-1)=2.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)判断f(x)在R上的单调性(说明理由);并求函数f(x)在区间[-2,4]上的值域.
(3)若对任意t∈[1,3],不等式f(t2-2kt)+f(2t2-1)<0恒成立,求实数k的取值范围.

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