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已知向量
a
=(cosx,sinx),
b
=(2sinx,sinx-cosx),
c
=(-1,0)

(1)若x=
π
6
,求向量
a
c
的夹角;
(2)当x∈[
π
2
8
]
时,函数f(x)=p
a
b
+q(p>0)
的最大值为1,最小值为-
2
,求p、q的值.
分析:(I)当x=
π
6
时可得,
a
c
=-cosx
,|
a
|=|
c
|=1,代入向量的夹角公式可求
(II)由已知可得
a
b
=2sinxcosx+sin2x-sinxcosx
=
2
2
sin(2x-
π
4
)
+
1
2
,结合已知x∈[
1
2
π,
9
8
π]
可求in(2x-
π
4
)的范围,结合已知即可求p,q
解答:解:(I)当x=
π
6
时,
a
c
=-cosx
,|
a
|=|
c
|=1
∴cos
a
c
=
a
c
|
a
||
c
|
=-cosx=-
3
2
(4分)
0≤<
a
c
>≤π

a
c
>=
6
(6分)
(II)∵
a
b
=2sinxcosx+sin2x-sinxcosx

=
1
2
sin2x+
1-cos2x
2

=
1
2
(sin2x-cos2x)+
1
2

=
2
2
sin(2x-
π
4
)
+
1
2
(9分)
x∈[
1
2
π,
9
8
π]

2x-
π
4
∈[
4
,2π]

∴sin(2x-
π
4
∈[-1,
2
2
]
(11分)
∵p>0
p+q=1
1-
2
2
p+q=-
2

p=2
q=-1
(14分)
点评:本题主要考查了向量的数量积的性质、向量的夹角公式、数量积的坐标表示及三角函数的二倍角公式、辅助角公式等知识的综合应用,向量与三角的结合是高考的一个热点,要注意把握
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相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(-cosα,1+sinα)
b
=(2sin2
α
2
,sinα)

(Ⅰ)若|
a
+
b
|=
3
,求sin2α的值;
(Ⅱ)设
c
=(cosα,2)
,求(
a
+
c
)•
b
的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cosωx-sinωx,sinωx)
b
=(-cosωx-sinωx,2
3
cosωx)
,其中ω>0,且函数f(x)=
a
b
(λ为常数)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的图象的对称轴;
(Ⅱ)若函数y=f(x)的图象经过点(
π
4
,0)
,求函数y=f(x)在区间[0,
12
]
上的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cos
θ
2
,sin
θ
2
)
b
=(2,1)
,且
a
b

(1)求tanθ的值;
(2 )求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
),  sin(ωx-
π
4
)),  
b
=(sin(
2
3
π-ωx), sin(ωx+
π
4
))
(其中ω>0).若函数f(x)=2
a
b
-1
的图象相邻对称轴间距离为
π
2

(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)在[-
π
12
,  
π
2
]
上的值域.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
a
=(cosθ,sinθ),
b=
(cos2θ-1,sin2θ),
c
=(cos2θ,sin2θ-
3
)
.其中θ≠kπ,k∈Z.
(1)求证:
a
b

(2)设f(θ)=
a
c
,且θ∈(0,π),求f(θ)
的值域.

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