Question

已知椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（I）求椭圆C₁的方程；
（II）设点P在抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在点P处的切线与C₁交于点M，N．当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．

Answer 1

分析：（I）根据题意，求出a，b的值，然后得出椭圆的方程．
（II）设出M，N，P的坐标，将直线代入椭圆，联立方程组，根据△判断最值即可．

解答：解：（I）由题意得

b=1 2• b2 a =1

，∴

a=2 b=1

，
所求的椭圆方程为

y2

4

+x2=1，
（II）不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（t，t²+h），
则抛物线C₂在点P处的切线斜率为y'|_x=t=2t，
直线MN的方程为y=2tx-t²+h，将上式代入椭圆C₁的方程中，
得4x²+（2tx-t²+h）²-4=0，
即4（1+t²）x²-4t（t²-h）x+（t²-h）²-4=0，
因为直线MN与椭圆C₁有两个不同的交点，
所以有△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0，
设线段MN的中点的横坐标是x₃，
则x3=

x1+x2

2

=

t(t2-h)

2(1+t2)

，
设线段PA的中点的横坐标是x₄，
则x4=

t+1

2

，由题意得x₃=x₄，
即有t²+（1+h）t+1=0，
其中的△₂=（1+h）²-4≥0，∴h≥1或h≤-3；
当h≤-3时有h+2＜0，4-h²＜0，
因此不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0不成立；
因此h≥1，当h=1时代入方程t²+（1+h）t+1=0得t=-1，
将h=1，t=-1代入不等式△₁=16[-t⁴+2（h+2）t²-h²+4]＞0成立，因此h的最小值为1．

点评：本题考查圆锥图象的综合利用，椭圆方程的应用，通过构造一元二次方程，利用根的判别式计算，属于中档题．