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(2009•中山模拟)已知定点F(1,0)和定直线x=-1,M,N是定直线x=-1上的两个动点且满足
FM
FN
,动点P满足
MP
OF
NO
OP
(其中O为坐标原点).
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线l与C相交于A,B两点
①求
OA
OB
的值;
②设
AF
FB
,当三角形OAB的面积S∈[2,
5
]
时,求λ的取值范围.
分析:(1)可设P(x,y),M(-1,y1),N(-1,y2)(y1,y2均不为0),利用向量的坐标运算,结合条件满足
FM
FN
,动点P满足
MP
OF
NO
OP
即可求得动点P的轨迹C的方程;
(2)将C的方程y2=4x(x≠0)与直线l的方程x=my+1联立消掉y,利用韦达定理可求得①
OA
OB
的值;
解法一:利用
AF
FB
,求得y4=-
2
λ
y3=2
λ
,从而得三角形OAB的面积S=
λ
+
1
λ
,由S∈[2,
5
]即可求得λ的取值范围;
解法二:利用
AF
FB
,可求得-y3=λy4,而y3y4=-4,从而|y3|=
4
|y4|
|y4|=
2
λ
一下同解法一.
解答:解:(1)设P(x,y),M(-1,y1),N(-1,y2)(y1,y2均不为0),
MP
OF
得y1=y,即M(-1,y)(2分)
NO
OP
y2=-
y
x
,即N(-1,-
y
x
)
(2分)
FM
FN

FM
FN
=0⇒(2,-y1)•(-2,y2)=0⇒y1y2=-4

∴y2=4x(x≠0)
∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0)(6分)
(2)①由(1)得P的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0),F(1,0),
设直线l的方程为x=my+1,将其与C的方程联立,消去x得y2-4my-4=0.(8分)
设A,B的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),则y3y4=-4.
x3x4=
1
16
y
2
3
y
2
4
=1
,(9分)
OA
OB
=x3x4+y3y 4=-3
.(10分)
②解法一:∵
AF
FB

∴(1-x3,-y3)=λ(x4-1,y4),即
1-x3x4
-y3y4

y
2
3
=4x3
y
2
4
=4x4

∴可得y4=-
2
λ
y3=2
λ
.(11分)
故三角形OAB的面积S=
1
2
|OF|•|y3-y4|=
λ
+
1
λ
,(12分)
因为
λ
+
1
λ
≥2
恒成立,所以只要解
λ
+
1
λ
5

即可解得
3-
5
2
≤λ≤
3+
5
2
.(14分)
解法二:∵
AF
FB

∴(1-x3,-y3)=λ(x4-1,y4),
∴-y3=λy4
∴|y3|=λ|y4|(注意到λ>0)
又由①有y3y4=-4,
|y3|=
4
|y4|

|y4|=
2
λ

三角形OAB的面积S=
1
2
|OF|(|y3|+|y4|)=
1
2
(2
λ
+
2
λ
)=
λ
+
1
λ
(以下解法同解法一)
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,着重考查向量的坐标运算与直线与圆锥曲线的综合运用,突出考查方程思想与转化思想,属于难题.
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