Question

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）求y关于x的线性回归方程；（已知b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

）
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低了多少吨标准煤．

Answer 1

分析：（1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出a的值，得到线性回归方程．
（2）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量．

解答：解：（1）∵

.

x

=

1

4

(3+4+5+6)=4.5（吨），

.

y

=

1

4

(2.5+3+4+4.5)=3.5（吨），

4

i=1

xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，

4

i=1

x

2 i

=9+16+25+36=86，
∴b=

4 i=1 xiyi-4 . x . y

4 i=1 xi2-4 . x 2

=

66.5-4×4.5×3.5

86-4×4.52

=0.7，
∴a=

.

y

-0.7×

.

x

=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴y关于x的回归方程为

?

y

=0.7x+0.35；
（2）由（1）可知技术改造后100吨甲产品的生产能耗约为0.7×100+0.35=70.35（吨），
∵技术改造前100吨甲产品的生产能耗为90吨，
∴降低的能耗约为90-70.35=19.65（吨），
即预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低了19.65吨标准煤．

点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，是一个基础题，解题时运算量比较大，注意利用公式求系数时，不要在运算上出错．属于中档题．