设函数。
(1)求函数的最小值;
(2)设,讨论函数
的单调性;
(3)斜率为的直线与曲线
交于
,
两点,求证:
。
(1).(2)当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,F(x)在上单调递增,在
上单调递减.(3)构造函数利用函数的单调性证明不等式
【解析】
试题分析:(1)f'(x)=lnx+1(x>0),令f'(x)=0,得.
∵当时,f'(x)<0;当
时,
f'(x)>0,
∴当时,
. 4分
(2)F(x)=ax2+lnx+1(x>0),.
①当a≥0时,恒有F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
②当a<0时,
令F'(x)>0,得2ax2+1>0,解得;
令F'(x)<0,得2ax2+1<0,解得.
综上,当a≥0时,F(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a<0时,F(x)在上单调递增,在
上单调递减. 8分
(3).
要证,即证
,等价于证
,令
,
则只要证,由t>1知lnt>0,
故等价于证lnt<t﹣1<tlnt(t>1)(*).
①设g(t)=t﹣1﹣lnt(t≥1),则,
故g(t)在[1,+∞)上是增函数,
∴当t>1时,g(t)=t﹣1﹣lnt>g(1)=0,即t﹣1>lnt(t>1).
②设h(t)=tlnt﹣(t﹣1)(t≥1),则h'(t)=lnt≥0(t≥1),故h(t)在[1,+∞)上是增函数,
∴当t>1时,h(t)=tlnt﹣(t﹣1)>h(1)=0,即t﹣1<tlnt(t>1).
由①②知(*)成立,得证. 12分
考点:本题考查了导数的运用
点评:导数本身是个解决问题的工具,是高考必考内容之一,高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用,求单调、最值、完成证明等,请注意归纳常规方法和常见注意点
科目:高中数学 来源: 题型:
px+1 |
x+1 |
1 |
2 |
n |
cn |
-1 |
anSn2 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
2 |
x |
2 |
x |
2 |
π |
8 |
π |
2 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
2 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
1 | an |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2013-2014学年山东省青岛市高三3月统一质量检测考试(第二套)理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数.
(1)求的最小值;
(2)当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时,这样的区间称为函数的保值区间.设,试问函数
在
上是否存在保值区间?若存在,请求出一个保值区间;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com