Question

（2012•上海）如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点．
求：（1）三棱锥C₁-MBC的体积；
（2）异面直线CD与MC₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）连接CM，根据M为AB中点，且正方形ABCD边长为1，得到△BCM的面积为S=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

．因为CC₁⊥平面ABCD，是三棱锥C₁-MBC的高，所以利用锥体体积公式，可得三棱锥C₁-MBC的体积；
（2）连接BC₁，正方形ABCD中，因为CD∥AB，所以∠C₁MB（或其补角）为异面直线CD与MC₁所成的角．Rt△MC₁B中，可算出BC₁=

5

，而MB=

1

2

AB=

1

2

，利用直角三角形中三角函数的定义，得到tan∠C₁MB=

BC1

BM

=2

5

，所以异面直线CD与MC₁所成角为arctan2

5

．

解答：解：（1）连接CM，
∵正方形ABCD中，M为AB中点，且边长为1，
∴△BCM的面积为S=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

．
又∵CC₁⊥平面ABCD，
∴CC₁是三棱锥C₁-MBC的高，
∴三棱锥C₁-MBC的体积为：V_C1-MBC=

1

3

×

1

4

×2=

1

6

；
（2）连接BC₁
∵CD∥AB，
∴∠C₁MB（或其补角）为异面直线CD与MC₁所成的角．
∵AB⊥平面B₁C₁CB，BC₁?平面B₁C₁CB，
∴AB⊥BC₁．
Rt△MC₁B中，BC₁=

BC2+CC12

=

5

，MB=

1

2

AB=

1

2

∴tan∠C₁MB=

BC1

BM

=2

5

所以异面直线CD与MC₁所成角为arctan2

5

．

点评：本题给出一个特殊的正三棱柱，求其中的异面直线所成角和三棱锥体积，着重考查了棱锥的体积公式和异面直线及其所成的角等知识点，属于中档题．