Question

（2012•上海）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点，已知∠BAC=

π

2

，AB=2，AC=2

3

，PA=2，求：
（1）三棱锥P-ABC的体积；
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）

Answer 1

分析：（1）首先根据三角形面积公式，算出直角三角形ABC的面积：S_△ABC=2

3

，然后根据PA⊥底面ABC，结合锥体体积公式，得到三棱锥P-ABC的体积；
（2）取BP中点E，连接AE、DE，在△PBC中，根据中位线定理得到DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=

3

4

，所以∠ADE=arccos

3

4

是锐角，因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos

3

4

．

解答：解：（1）∵∠BAC=

π

2

，AB=2，AC=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

又∵PA⊥底面ABC，PA=2
∴三棱锥P-ABC的体积为：V=

1

3

×S_△ABC×PA=

4

3

3

；
（2）取BP中点E，连接AE、DE，
∵△PBC中，D、E分别为PC、PB中点
∴DE∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC、AD所成的角．
∵在△ADE中，DE=2，AE=

2

，AD=2
∴cos∠ADE=

22+22-2

2×2×2

=

3

4

，可得∠ADE=arccos

3

4

（锐角）
因此，异面直线BC与AD所成的角的大小arccos

3

4

．

点评：本题给出一个特殊的三棱锥，以求体积和异面直线所成角为载体，考查了棱柱、棱锥、棱台的体积和异面直线及其所成的角等知识点，属于基础题．