Question

8．设函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦函数图象在对称轴取得最值，结合φ的范围，即可求出φ的值；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调区间，求出f（x）的单调增区间即可．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）=sin（2x+φ），
且y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{π}{6}$；
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
又-π＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{5π}{6}$；
（Ⅱ）由函数f（x）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{5π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{4π}{3}$+2kπ，k∈Z，
即$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z；
∴函数y=f（x）的单调增区间为[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了正弦型函数的对称性与单调性的应用问题，是基础题目．