Question

设f（x）是R上的奇函数，且周期为4，f（1+x）=f（1-x），当0≤x≤1时，f（x）=x．
（1）求f（3）的值；
（2）当-4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得，f（3）=f（-1）=-f（1）=-1；
（2）作f（x）的图象如图，从而求其面积．

解答： 解：∵f（x）是以4为周期的周期函数，
∴f（3）=f（-1），
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-1）=-f（1），
由当0≤x≤1时，f（x）=x，
∴f（3）=f（-1）=-f（1）=-1；
（2）∵f（1+x）=f（1-x），
故知函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
又当0≤x≤1时，f（x）=x，
且f（x）的图象关于原点成中心对称，
则f（x）的图象如图所示，

当-4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴所围成图形的面积为S，
则S=4S_△OAB=4×

1

2

×2×1=4．

点评：本题考查了抽象函数的应用及作图的应用，属于中档题．