Question

已知{a_n}是递减等比数列，a₂=2，a₁+a₃=5，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是（　　）

A．[12，16）

B．[8，16）

C．[8， 32 3 )

D．[ 16 3 ， 32 3 )

Answer 1

（a₂）²=a₁•a₃=4，a₁+a₃=5，
∴a₁和a₃是方程x²-5x+4=0的两个根，解得x=1或4
∵{a_n}是递减等比数列，∴a₁＞a₃，
∴a₁=4，a₃=1
∴q²=

a3

a1

=

1

4

∵{a_n}是递减等比数列，∴q＞0
∴q=

1

2

∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=a₁²q+a₁²q³+a₁²q⁵…+a₁²q^2n-1=

8[1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

32

3

（1-

1

4n

）＜

32

3

∵{a_n}是递减等比数列，
∴{S_n}的最小项为S₁=8
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是[8，

32

3

)
故选C