Question

关于函数f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的如下结论：
①f（x）是奇函数；②函数f（x）的值域为（-2，2）；③若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；④函数g（x）=f（x）-3x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有

①②③

．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

Answer 1

分析：由定义域关于原点对称且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数，故①正确．利用不等式的性质可得，-2＜f（x）＜2，故②正确． 根据奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
可得函数f（x）在（-∞，0）上也是增函数，故当x₁≠x₂时，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正确．函数g（x）=f（x）-3x在R上的零点个数，即函数y=f（x）与函数y=3x的图象交点个数．而两个增函数的图象交点最多有两个，故④不正确．

解答：解：函数f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的定义域为R，
由f（-x）=

-2x

1+|x|

=-f（x），可得f（x）是奇函数，故①正确．
由于-|x|≤x≤|x|，∴-

2|x|

1+|x|

≤f（x）≤

2|x|

1+|x|

．
∴-

2|x|+2

1+|x|

＜f（x）＜

2|x|+2

1+|x|

，∴-2＜f（x）＜2，故②正确．
当x＞0时，f(x)=

2x

1+x

=

2(x+1)-2

1+x

=2-

2

x+1

＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
再由奇函数的性质可得，函数f（x）在（-∞，0）上也是增函数，且f（x）＜0，f（0）=0，
故当x₁≠x₂时，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正确．
由③可得，函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，函数g（x）=f（x）-3x在R上的零点个数，即函数y=f（x）与函数y=3x的图象交点个数．
而两个增函数的图象交点最多有两个，故函数g（x）=f（x）-3x在R上有三个零点不可能，故④不正确．
故答案为 ①②③．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性、值域，函数的零点个数的判断，属于基础题．