Question

已知数列{a_n}是首项为a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比数列，设bn+2=3log

1

4

an（n∈N^*），c_n=a_nb_n（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题a_n=(

1

4

)n，（n∈N^*），再根据b_n+2=3log

1

4

a_n（n∈N^*），求出数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和S_n．先根据c_n=a_nb_n（n∈N^*）求出数列{c_n}通项，再利用错位相减法求其前n项和S_n．

解答：解：（1）由题意知，a_n=(

1

4

)n，（n∈N^*），（2分）
又b_n=3log 

1

4

a_n-2，故b_n=3n-2，（n∈N^*），（4分）
（2）由（1）知，a_n=(

1

4

)n，b_n=3n-2，（n∈N^*），∴c_n=（3n-2）×(

1

4

)n，（n∈N^*），（6分）
∴S_n=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+7×(

1

4

)3+…+（3n-5）×(

1

4

)n-1+（3n-2）×(

1

4

)n，
∴

1

4

S_n=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)3+7×(

1

4

)4+…+（3n-8）×(

1

4

)n-1+（3n-5）×(

1

4

)n+（3n-2）×(

1

4

)n+1，
两式相减，得

3

4

S_n=

1

4

+3[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-（3n-2）×(

1

4

)n+1=

1

2

-（3n+2）×(

1

4

)n+1
∴S_n=

2

3

-

3n+2

3

×(

1

4

)n，（n∈N^*）（12分）

点评：本题考查了等差与等比数列的综合，主要考查了等比数列的通项公式及求和的技巧错位相减法，如果一个数列的项是由一个等差数列的项与一个等比数列的相应项乘积组成，即可用错位相减法求和．本题易因错位相减时规则不熟悉出错，要好好研究．