Question

已知函数f（x）=（x²+ax+b）e^x，且f（0）=7，x=1是它的极值点．
（1）求f（x）的表达式；
（2）试确定f（x）的单调区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（0）=7，∴b=7．
又f′（x）=[x²+（2+a）x+a+b]e^x，x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，即（10+2a）e=0，∴a=-5，
∴f（x）=（x²-5x+7）e^x；
（2）∵f′（x）=（x²-3x+2）e^x=（x-1）（x-2）e^x
令f′（x）＞0得x＜1或x＞2；令f′（x）＜0得1＜x＜2，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞），f（x）的单调减区间为（1，2）；
（3）由（2）知f（x）_最大=f（1）=3e，f（x）_最小=f（2）=e²．
若g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点，则只需y=f（x）与y=m的图象有三个交点．
由于f（x）在（-∞，1）单调递增，且f（-1）=＜f（2），
故只要f（x）_最小＜m＜f（x）_最大，∴e²＜m＜3e．
故当e²＜m＜3e时，g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点．
分析：（1）把x等于0代入函数解析式让其等于7即可解出b的值，然后求f（x）的导函数，因为x等于1是函数的极值点，所以把x等于1代入到到函数中即可求出a的值，把a的值和b的值代入到f（x）中得到f（x）的解析式；
（2）把a与b代入到函数的导函数中，分解因式后，令导函数大于0解出x的范围即为函数的增区间，令导函数小于0解出x的范围即为函数的减区间；
（3）根据（2）得到的函数单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值和最小值，若g（x）=f（x）-m（m∈R）恰有3个零点，则只需y=f（x）与y=m的图象有三个交点，即要m大于函数的最小值，小于函数的最大值，即可求出符合题意m的范围．
点评：此题考查学生会根据导函数的正负判断函数的单调性，并根据函数的增减性得到函数的最值，掌握函数的零点与方程交点的关系，是一道中档题．